Изображение создано с применением ИИ. erid: XXXXXX
Задача про бассейн с трубами — классика, которую помнят все, но решают единицы
Эта задача — травма поколений. Каждый, кто учился в советской или российской школе, хоть раз с ней сражался. И у большинства остался шрам.
Одна труба наполняет бассейн за 4 часа. Другая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?
Подумай. Самый частый неправильный ответ — 5 часов (среднее). Это не так.
Решение, которое понял бы Перельман
Забудь уравнения. Думай о производительности.
Первая труба за 1 час наполняет 1/4 бассейна. Вторая труба за 1 час наполняет 1/6 бассейна.
Вместе за 1 час они наполняют: 1/4 + 1/6.
Приводим к общему знаменателю: 3/12 + 2/12 = 5/12 бассейна за час.
Весь бассейн — это 12/12. Делим: 12/5 = 2,4 часа. Или 2 часа 24 минуты.
Почему люди ошибаются
Мозг хочет посчитать среднее: (4+6)/2 = 5. Это интуитивно, но математически неверно. Среднее работает для скоростей, но не для времени.
Вот простой способ проверить: если обе трубы одинаковые (обе по 4 часа), вместе они наполнят бассейн за 2 часа, а не за 4. Значит, ответ всегда меньше, чем время самой быстрой трубы. 2 часа 24 минуты — меньше 4 часов. Сходится.
Усложним: одна наливает, другая сливает
А если первая труба наполняет бассейн за 4 часа, а вторая сливает за 6 часов? Обе открыты. Наполнится ли бассейн?
Первая наливает 1/4 за час. Вторая сливает 1/6 за час. Разница: 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 за час. Бассейн наполнится за 12 часов.
А если наоборот — сливная труба быстрее? Тогда бассейн не наполнится никогда. Вода убывает быстрее, чем прибывает.
А вы знали?
Задачи на бассейн с трубами — не выдумка учителей. Они описывают реальную инженерную задачу: расчёт пропускной способности трубопроводов. Водоканал каждого города решает такие задачи ежедневно — только бассейнов там сотни и трубы считают компьютеры.
А Перельман предлагал ещё более хитрые варианты: бассейн с тремя трубами, одна из которых включается с опозданием на час. Вот там уже настоящая головоломка.
Что завтра
7 математических фокусов для вечеринки — вся математика этой недели в одной подборке. Удиви друзей в субботу вечером.
Подпишись. Решил правильно? Или попался на «среднее»? Пиши!